La historia de este concepto se remonta a la antigua Grecia, donde filósofos como Zenón reflexionaron sobre la idea de subdivisiones infinitas. Después de reflexionar sobre la idea de Zenón, Arquímedes hizo importantes contribuciones a este concepto. Por último, fueron Isaac Newton y Gottfried Leibniz quienes formalizaron el concepto en el siglo XVII.

En este blog; entenderemos el concepto de límite en cálculo; su definición; propiedades; y cómo calculamos el límite en cálculo con la ayuda de ejemplos.

El límite en cálculo:

La notación utilizada para representar el límite de una función es Lim . Es un valor al que se acerca una función a medida que la entrada (generalmente x ) se acerca cada vez más a un número específico a .
Nos dice qué sucede con la salida de la función a medida que nos acercamos mucho al valor elegido de a .
La notación matemática para un límite es:
Lim x→ a f(x) = L

Dónde:

• La variable x se acerca al valor a.
• La función bajo examen se denota como f(x).
• L es el valor al que se aproxima la función cuando x se acerca a a .

Tipos de límites:

El límite tiene varios tipos en cálculo que se encuentran comúnmente. Estos son algunos de los tipos clave de límites:
1. Límites unilaterales
2. Límite en un punto finito
3. Límite en el infinito

Límites unilaterales:

Los límites unilaterales se abordan desde la izquierda o la derecha de un punto en particular.

Se denotan de la siguiente manera:

• El límite de la izquierda: lim x → a- f(x) representa el límite cuando x se aproxima a a por la izquierda.
• El límite de la derecha: lim x → a+ f(x) denota el límite cuando x se aproxima a a por la derecha.

Límite en un punto finito:

Se dice que un límite es finito si la función se aproxima a un valor finito específico cuando x se acerca al punto dado. En símbolos, lim (x → a) f(x) = L donde L es un número real finito.

Límite al infinito:

Este tipo de límite se ocupa del comportamiento de una función cuando x se vuelve muy grande o muy pequeña. Hay dos variaciones:
• lim x → +∞ f(x) representa el límite cuando x se acerca al infinito positivo.
• lim x → -∞ f(x) representa el límite cuando x se acerca al infinito negativo.

Propiedades del límite:

Las siguientes propiedades de los límites en cálculo se utilizan para analizar y calcular los límites de una función a medida que se acercan a valores exactos o al infinito.

1. Límite de una constante:

El límite de una función constante es la constante misma.
Si lim x→ a [C. f(x)] = C. lim x→ a [f(x)]

2. Límite de una Suma/Diferencia:

El límite de la suma o diferencia de dos funciones es igual a la suma o diferencia de sus límites.
si lim x→ a f(x) = L y lim x→ a g(x) = M
Entonces:
lim x→a [f(x) ± g(x)] = L ± M.

3. Límite de un Producto:

El límite del producto de dos funciones es igual al producto de sus límites.
Si lim x→a f(x) = L y lim x→ a g(x) = M
Entonces:
lim x→ a [f(x) * g(x)] = L * M.

4. Límite de un cociente:

El límite del cociente de dos funciones es igual al cociente de sus límites pero el límite previsto del denominador no es cero.
si lim x→a f(x) = L y lim x→a g(x) = M (donde M no es igual a 0).
Entonces:
lim x→a [f(x) / g(x)] = L / M.

5. Límite de poder:

El límite de la potencia de una función es igual a la potencia del límite de esa función.
Si lim x→a f(x) = L
Entonces _
lim x→ a [f(x) n ] = L n para cualquier número real n .

6. Límites de funciones compuestas

El límite de una función compuesta es la composición de los límites.
Si lim x→ a f(x) = L y lim y → L g(y) = M
Entonces:
lim x→a g(f(x)) = M.

Cálculo del límite en Cálculo:

Existen muchos métodos y reglas para calcular límites, depende del tipo de límite y de la función involucrada. Los siguientes métodos son importantes para calcular los límites.
• La regla de L'Hôpital.
• Sustitución directa.

La regla de L'Hôpital:

Esta regla se utiliza cuando los límites están en formas indeterminadas. Si nos encontramos con una forma indeterminada como 0/0 o infinito /infinito entonces podemos diferenciar el numerador y el denominador por separado y luego tomar el límite.

La Regla de L'Hôpital establece que:

Lim x → a [f(x)/g(x)] = lim x → a [f'(x)/g'(x)] bajo ciertas condiciones.

Sustitución directa:

Podemos usar sustitución directa si la función es continua en el punto donde queremos encontrar el límite. Simplemente reemplace x con el valor a en la función, y ese será el límite.

Problemas resueltos de límite:

A continuación se muestran algunos problemas de límites resueltos.

Problema 1:

Encuentre el límite de la función cuando x tiende a 2:
lím x → 2 (3x - 1)

Solución:

La función dada es continua en el punto dado.
Entonces, podemos usar sustitución directa en esto: simplemente reemplazaremos x con el valor a en la función.
lím x → 2 (3x - 1) = 3(2) - 1 = 6 - 1 = 5
El límite es 5.

Problema 2:

Encuentre el límite cuando x tiende a 0:
lím x → 0 (sen (x) / x)

Solución:

Este es un límite trigonométrico bien conocido. Aquí podemos usar sustitución directa o la regla de L'Hôpital.

Usando sustitución directa:

Lim x → 0 (sen (x) / x) = pecado (0) / 0 = 1/0
Esta es una forma indeterminada, por lo que podemos aplicar la Regla de L'Hôpital:
= lím x → 0 (sen(x) / x)
= lím x → 0 (cos(x)/1)
= porque (0)/1
= 1

Entonces el límite es 1.

Una calculadora de límites podría ser una herramienta útil para resolver problemas de límites y deshacerse del tiempo que requieren los cálculos.

Problema 3:

Encuentre el límite cuando x tiende a infinito:
lím x → ∞ (2x 2 - 3x + 1) / (3x 2 + 2)

Solución:

Nos centramos en los términos principales para los enfoques infinitos:
lím x → ∞ (2x 2 - 3x + 1) / (3x 2 + 2)
= lím x → ∞ (2x 2 / 3x 2 ) = 2/3
Entonces el límite es 2/3.

Resumen:

En este artículo, profundizamos en el núcleo de los límites en cálculo, explorando sus definiciones, propiedades y métodos de cálculo. Al examinar los tipos de límites, como los límites unilaterales y los límites en el infinito, leemos los cálculos principales de sus propiedades. Se explicaron mediante ejemplos métodos importantes como la regla de L'Hôpital y la sustitución directa.